2次方程式 $3x^2 + 5x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めよ。 (1) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ (2) $\alpha^2 + \beta^2$

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 + 5x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$

(2) $\alpha^2 + \beta^2$

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{5}{3}$

$\alpha \beta = \frac{1}{3}$

(1) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta (\alpha + \beta) = \frac{1}{3} \times (-\frac{5}{3}) = -\frac{5}{9}$

(2) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = (-\frac{5}{3})^2 - 2 \times \frac{1}{3} = \frac{25}{9} - \frac{2}{3} = \frac{25}{9} - \frac{6}{9} = \frac{19}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{5}{9}$

(2) $\frac{19}{9}$