関数 $f(x) = x^2 + 1$ が $x \to 1$ で 2 に収束することを示す際に、$0 < |x-1| < \delta$ ならば $|f(x) - 2| < \epsilon$ を満たすような正の実数 $\delta$ を求めます。特に、例1で $\epsilon = 0.05$ および $\epsilon = 0.005$ のとき、$\delta$ の値をそれぞれ一つ定め、一般の $\epsilon$ のとき、$\delta$ はどうすれば良いかを問うています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 1$ が $x \to 1$ で 2 に収束することを示す際に、$0 < |x-1| < \delta$ ならば $|f(x) - 2| < \epsilon$ を満たすような正の実数 $\delta$ を求めます。特に、例1で $\epsilon = 0.05$ および $\epsilon = 0.005$ のとき、$\delta$ の値をそれぞれ一つ定め、一般の $\epsilon$ のとき、$\delta$ はどうすれば良いかを問うています。

2. 解き方の手順

まず、$|f(x) - 2| = |x^2 + 1 - 2| = |x^2 - 1| = |(x-1)(x+1)|$ を考えます。

$0 < |x-1| < \delta$ を仮定します。

(1) $\epsilon = 0.05$ の場合:

$|f(x) - 2| < 0.05$ となるように $\delta$ を選びます。

$|x^2 - 1| < 0.05$ は $-0.05 < x^2 - 1 < 0.05$ と同値であり、$0.95 < x^2 < 1.05$ となります。

したがって、$\sqrt{0.95} < x < \sqrt{1.05}$ となります（$x>0$と仮定します）。

$|x-1| < \delta$ より、$1-\delta < x < 1+\delta$ です。

$\sqrt{0.95} \approx 0.9747$ および $\sqrt{1.05} \approx 1.0247$ です。

$1 - \delta = \sqrt{0.95}$ および $1 + \delta = \sqrt{1.05}$ となるような $\delta$ を求めると、$\delta = 1 - \sqrt{0.95} \approx 0.0253$ および $\delta = \sqrt{1.05} - 1 \approx 0.0247$ です。

$\delta$ は小さい方の値を選ぶ必要があるので、$\delta = \sqrt{1.05} - 1 \approx 0.0247$ となります。

したがって、$\delta$ として $0.0247$ より小さい正の実数を選ぶことができます。

例として、$\delta = 0.02$ とします。

(2) $\epsilon = 0.005$ の場合:

$|f(x) - 2| < 0.005$ となるように $\delta$ を選びます。

$|x^2 - 1| < 0.005$ は $-0.005 < x^2 - 1 < 0.005$ と同値であり、$0.995 < x^2 < 1.005$ となります。

したがって、$\sqrt{0.995} < x < \sqrt{1.005}$ となります（$x>0$と仮定します）。

$|x-1| < \delta$ より、$1-\delta < x < 1+\delta$ です。

$\sqrt{0.995} \approx 0.9975$ および $\sqrt{1.005} \approx 1.0025$ です。

$1 - \delta = \sqrt{0.995}$ および $1 + \delta = \sqrt{1.005}$ となるような $\delta$ を求めると、$\delta = 1 - \sqrt{0.995} \approx 0.0025$ および $\delta = \sqrt{1.005} - 1 \approx 0.0025$ です。

$\delta$ は小さい方の値を選ぶ必要があるので、$\delta = 1 - \sqrt{0.995} \approx 0.0025$ となります。

したがって、$\delta$ として $0.0025$ より小さい正の実数を選ぶことができます。

例として、$\delta = 0.002$ とします。

(3) 一般の $\epsilon$ の場合:

$|x^2 - 1| < \epsilon$ となるように $\delta$ を選びます。

$-\epsilon < x^2 - 1 < \epsilon$ より、$1 - \epsilon < x^2 < 1 + \epsilon$ となります。

したがって、$\sqrt{1 - \epsilon} < x < \sqrt{1 + \epsilon}$ となります（$x>0$と仮定します）。

$1 - \delta = \sqrt{1 - \epsilon}$ および $1 + \delta = \sqrt{1 + \epsilon}$ となるような $\delta$ を求めると、$\delta = 1 - \sqrt{1 - \epsilon}$ および $\delta = \sqrt{1 + \epsilon} - 1$ です。

$\delta$ は小さい方の値を選ぶ必要があるので、$\delta = \min(1 - \sqrt{1 - \epsilon}, \sqrt{1 + \epsilon} - 1)$ となります。

3. 最終的な答え

- $\epsilon = 0.05$ のとき、$\delta = 0.02$ (例)

- $\epsilon = 0.005$ のとき、$\delta = 0.002$ (例)

- 一般の $\epsilon$ のとき、$\delta = \min(1 - \sqrt{1 - \epsilon}, \sqrt{1 + \epsilon} - 1)$