$\epsilon-\delta$論法を用いて、以下の2つの極限を証明します。 (1) $\lim_{x \to 1} (5x - 3) = 2$ (2) $\lim_{x \to -1} (x^2 + 1) = 2$

1. 問題の内容

$\epsilon-\delta$論法を用いて、以下の2つの極限を証明します。

(1) $\lim_{x \to 1} (5x - 3) = 2$

(2) $\lim_{x \to -1} (x^2 + 1) = 2$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} (5x - 3) = 2$ の証明

まず、$|x - 1| < \delta$を仮定します。

このとき、$|(5x - 3) - 2| < \epsilon$となるような$\delta > 0$を見つける必要があります。

$|(5x - 3) - 2| = |5x - 5| = |5(x - 1)| = 5|x - 1|$

$5|x - 1| < \epsilon$となるためには、$|x - 1| < \frac{\epsilon}{5}$であれば良いです。

したがって、$\delta = \frac{\epsilon}{5}$と選べば良いことになります。

よって、任意の$\epsilon > 0$に対して、$\delta = \frac{\epsilon}{5}$とすれば、$|x - 1| < \delta$ならば$|(5x - 3) - 2| < \epsilon$が成り立つので、$\lim_{x \to 1} (5x - 3) = 2$が証明されました。

(2) $\lim_{x \to -1} (x^2 + 1) = 2$ の証明

まず、$|x - (-1)| = |x + 1| < \delta$を仮定します。

このとき、$|(x^2 + 1) - 2| < \epsilon$となるような$\delta > 0$を見つける必要があります。

$|(x^2 + 1) - 2| = |x^2 - 1| = |(x - 1)(x + 1)| = |x - 1||x + 1|$

ここで、$|x + 1| < \delta$という仮定があるので、$|x - 1|$を$\delta$で表せるようにしたいです。

$|x - 1| = |(x + 1) - 2| \leq |x + 1| + |-2| = |x + 1| + 2 < \delta + 2$

したがって、$|(x^2 + 1) - 2| = |x - 1||x + 1| < (\delta + 2)\delta$

$(\delta + 2)\delta < \epsilon$となるように$\delta$を選びたいです。

$\delta^2 + 2\delta - \epsilon < 0$という2次不等式を解くことは難しいので、$\delta$に条件をつけます。

仮に$\delta < 1$とすると、$(\delta + 2)\delta < (1 + 2)\delta = 3\delta$

$3\delta < \epsilon$となるには$\delta < \frac{\epsilon}{3}$であればよいです。

したがって、$\delta = \min(1, \frac{\epsilon}{3})$と選びます。

すると、$|x + 1| < \delta$ならば、$|(x^2 + 1) - 2| < \epsilon$が成り立つことが言えます。

よって、任意の$\epsilon > 0$に対して、$\delta = \min(1, \frac{\epsilon}{3})$とすれば、$|x - (-1)| < \delta$ならば$|(x^2 + 1) - 2| < \epsilon$が成り立つので、$\lim_{x \to -1} (x^2 + 1) = 2$が証明されました。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 1} (5x - 3) = 2$ の証明：任意の$\epsilon > 0$に対して、$\delta = \frac{\epsilon}{5}$とすれば良い。

(2) $\lim_{x \to -1} (x^2 + 1) = 2$ の証明：任意の$\epsilon > 0$に対して、$\delta = \min(1, \frac{\epsilon}{3})$とすれば良い。