画像に記載されている定理2-1の(2)を証明する問題です。 定理2-1の(2)は、以下の通りです。 「実数 $d$ について、$f(x) \leq d$ がすべての $x \in I$ について成り立つならば、$\alpha \leq d$ である。」 ただし、$I = (a, b)$ ($a < b$) は開区間であり、$f(x)$ は $I$ 上の関数、$\lim_{x \to a+0} f(x) = \alpha$ であり、$\alpha$ は実数とします。

1. 問題の内容

画像に記載されている定理2-1の(2)を証明する問題です。

定理2-1の(2)は、以下の通りです。

「実数 $d$ について、$f(x) \leq d$ がすべての $x \in I$ について成り立つならば、$\alpha \leq d$ である。」

ただし、$I = (a, b)$ ($a < b$) は開区間であり、$f(x)$ は $I$ 上の関数、$\lim_{x \to a+0} f(x) = \alpha$ であり、$\alpha$ は実数とします。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

(1) $\alpha > d$ と仮定します。

(2) $\epsilon = \alpha - d > 0$ とおきます。

(3) $\lim_{x \to a+0} f(x) = \alpha$ より、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在して、$0 < x - a < \delta$ であるすべての $x$ について、$|f(x) - \alpha| < \epsilon$ となります。

(4) 特に、$\epsilon = \alpha - d$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在して、$0 < x - a < \delta$ であるすべての $x$ について、$|f(x) - \alpha| < \alpha - d$ となります。

(5) これは $-\alpha + d < f(x) - \alpha < \alpha - d$ を意味します。

(6) 左側の不等式 $-\alpha + d < f(x) - \alpha$ から $f(x) > d$ が得られます。

(7) しかし、$f(x) \leq d$ がすべての $x \in I$ について成り立つという仮定に矛盾します。

(8) したがって、$\alpha \leq d$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\alpha \leq d$