立方体ABCD-EFGHにおいて、∠EAG = $\theta$とするとき、sin $\theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

立方体ABCD-EFGHにおいて、∠EAG = $\theta$とするとき、sin $\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

立方体の1辺の長さを$a$とする。

まず、$\triangle AEF$において、$AE = a$、$EF = a$であるから、三平方の定理より

$AF^2 = AE^2 + EF^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

よって、$AF = \sqrt{2}a$

次に、$\triangle AFG$において、$AF = \sqrt{2}a$、$FG = a$であるから、三平方の定理より

$AG^2 = AF^2 + FG^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

よって、$AG = \sqrt{3}a$

$\triangle AEG$において、$AE = a$、$AG = \sqrt{3}a$、$EG = \sqrt{2}a$である。

$\angle EAG = \theta$なので、余弦定理より

$EG^2 = AE^2 + AG^2 - 2AE \cdot AG \cos\theta$

$(\sqrt{2}a)^2 = a^2 + (\sqrt{3}a)^2 - 2 a \cdot \sqrt{3}a \cos\theta$

$2a^2 = a^2 + 3a^2 - 2\sqrt{3}a^2 \cos\theta$

$2a^2 = 4a^2 - 2\sqrt{3}a^2 \cos\theta$

$-2a^2 = -2\sqrt{3}a^2 \cos\theta$

$1 = \sqrt{3} \cos\theta$

$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$より

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\sin\theta = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6}}{3}$