底面の半径が5cm、母線の長さが13cmの円錐の中に、球が内接している。この球の半径を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が5cm、母線の長さが13cmの円錐の中に、球が内接している。この球の半径を求める。

2. 解き方の手順

円錐の高さを $h$ とすると、ピタゴラスの定理より、

$h^2 + 5^2 = 13^2$

$h^2 = 169 - 25 = 144$

$h = 12$

円錐の中心軸を含む断面を考える。これは底辺が10cm、高さが12cm、斜辺が13cmの二等辺三角形となる。この三角形に内接する円の半径を $r$ とすると、三角形の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60$

また、$S$ は三角形の周長を $l$ とすると、

$S = \frac{1}{2} r l$

ここで、$l = 10 + 13 + 13 = 36$ なので、

$60 = \frac{1}{2} r \times 36 = 18r$

$r = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{3}$