次の4つの関数を微分する問題です。 (1) $(3x - 1)^4$ (2) $\log(3x^x)$ (3) $e^{\frac{1}{x}}$ (4) $\cos(\sin x)$

1. 問題の内容

次の4つの関数を微分する問題です。

(1) $(3x - 1)^4$

(2) $\log(3x^x)$

(3) $e^{\frac{1}{x}}$

(4) $\cos(\sin x)$

2. 解き方の手順

(1) $(3x - 1)^4$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = 3x - 1$ とおくと、$y = u^4$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を使います。

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 3 = 12(3x - 1)^3$

(2) $\log(3x^x)$ の微分

まず、対数の性質を使って式を整理します。

$\log(3x^x) = \log 3 + \log x^x = \log 3 + x \log x$

$\frac{d}{dx} (\log(3x^x)) = \frac{d}{dx} (\log 3 + x \log x) = \frac{d}{dx} (x \log x)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$u = x$, $v = \log x$ とおくと、

$u' = 1$, $v' = \frac{1}{x}$

よって、

$\frac{d}{dx} (x \log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

(3) $e^{\frac{1}{x}}$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = \frac{1}{x}$ とおくと、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を使います。

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}}$

(4) $\cos(\sin x)$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = \sin x$ とおくと、$y = \cos u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を使います。

$\frac{dy}{du} = -\sin u$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\sin u \cdot \cos x = -\cos x \sin(\sin x)$

3. 最終的な答え

(1) $12(3x - 1)^3$

(2) $\log x + 1$

(3) $-\frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}}$

(4) $-\cos x \sin(\sin x)$