三角形ABCにおいて、$a=4$, $b=3$, $c=5$ である。辺BCの中点をMとしたとき、中線AMの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=4$, $b=3$, $c=5$ である。辺BCの中点をMとしたとき、中線AMの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

中線定理を用いる。中線定理とは、三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとするとき、以下の式が成り立つ。

$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$

この問題では、$AB=c=5$, $AC=b=3$, $BC=a=4$であり、MはBCの中点なので、$BM = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$である。

よって、$AM = x$とおくと、

$5^2 + 3^2 = 2(x^2 + 2^2)$

$25 + 9 = 2(x^2 + 4)$

$34 = 2x^2 + 8$

$2x^2 = 34 - 8$

$2x^2 = 26$

$x^2 = 13$

$x = \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{13}$