## 問題2：次の関数を積分しなさい。

## 問題2：次の関数を積分しなさい。

与えられた積分問題を解きます。画像には6つの積分問題が含まれています。ここでは、それぞれの問題を解き方と答えを示します。

1. $\int \frac{12x}{x^6 + 1} dx$

2. $\int \frac{\sin^2 x + \cos x + 1}{\sin x (1 + \cos x)} dx$

3. $\int \frac{2x}{\sqrt{-x^4 + 4x^2 - 3}} dx$

4. $\int \frac{1}{3 \cos^2 x + 1} dx$

5. $\int_0^\infty \frac{4x - 3}{(2x + 1)(1 + x^2)} dx$

6. $\int_{-1}^1 \frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$

## 1) $\int \frac{12x}{x^6 + 1} dx$

1. **解き方の手順**

まず、$u = x^3$ と置換します。すると、$du = 3x^2 dx$ となり、$x^2 dx = \frac{1}{3} du$ です。被積分関数を次のように書き換えます。

$\int \frac{12x}{x^6 + 1} dx = \int \frac{12x}{(x^3)^2 + 1} dx$

積分変数を変換するために、$x = u^{1/3}$であることに注意してください。そして、$dx = \frac{1}{3} u^{-2/3} du$です。したがって、$xdx = x^3/3 u^{-2/3} du = 1/3 du$。積分は、

$4 \int \frac{3x}{u^2+1} \frac{du}{3x^2}=4\int\frac{du}{u^2+1}$

積分を実行します。

$4 \int \frac{1}{u^2 + 1} du = 4 \arctan(u) + C$

最後に、$u = x^3$ を代入します。

2. **最終的な答え**

$4 \arctan(x^3) + C$

## 2) $\int \frac{\sin^2 x + \cos x + 1}{\sin x (1 + \cos x)} dx$

1. **解き方の手順**

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を使用して被積分関数を変形します。

$\int \frac{1 - \cos^2 x + \cos x + 1}{\sin x (1 + \cos x)} dx = \int \frac{2 + \cos x - \cos^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} dx$

分子を因数分解します。

$\int \frac{(2 - \cos x)(1 + \cos x)}{\sin x (1 + \cos x)} dx = \int \frac{2 - \cos x}{\sin x} dx$

積分を2つに分割します。

$\int \frac{2}{\sin x} dx - \int \frac{\cos x}{\sin x} dx = 2 \int \csc x dx - \int \cot x dx$

標準的な積分を実行します。

$2 \int \csc x dx = 2 \ln|\csc x - \cot x| + C_1$

$\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C_2$

結果を組み合わせます。

2. **最終的な答え**

$2 \ln|\csc x - \cot x| - \ln|\sin x| + C$

## 3) $\int \frac{2x}{\sqrt{-x^4 + 4x^2 - 3}} dx$

1. **解き方の手順**

$-x^4 + 4x^2 - 3 = -(x^4 - 4x^2 + 3) = -(x^2 - 1)(x^2 - 3) = (1 - x^2)(x^2 - 3)$ とします。

$u = x^2$ と置換します。すると、$du = 2x dx$ となります。

$\int \frac{2x}{\sqrt{-x^4 + 4x^2 - 3}} dx = \int \frac{du}{\sqrt{-(u - 1)(u - 3)}} = \int \frac{du}{\sqrt{(1 - u)(u - 3)}}$

$\int \frac{du}{\sqrt{-u^2 + 4u - 3}} = \int \frac{du}{\sqrt{1 - (u - 2)^2}}$

$v = u - 2$ と置換します。すると、$dv = du$ となります。

$\int \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \arcsin(v) + C = \arcsin(u - 2) + C = \arcsin(x^2 - 2) + C$

2. **最終的な答え**

$\arcsin(x^2 - 2) + C$

## 4) $\int \frac{1}{3 \cos^2 x + 1} dx$

1. **解き方の手順**

分子と分母を $\cos^2 x$ で割ります。

$\int \frac{1}{3 \cos^2 x + 1} dx = \int \frac{\sec^2 x}{3 + \sec^2 x} dx = \int \frac{\sec^2 x}{3 + 1 + \tan^2 x} dx = \int \frac{\sec^2 x}{4 + \tan^2 x} dx$

$u = \tan x$ と置換します。すると、$du = \sec^2 x dx$ となります。

$\int \frac{1}{4 + u^2} du = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{u}{2}\right) + C = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{\tan x}{2}\right) + C$

2. **最終的な答え**

$\frac{1}{2} \arctan\left(\frac{\tan x}{2}\right) + C$

## 5) $\int_0^\infty \frac{4x - 3}{(2x + 1)(1 + x^2)} dx$

1. **解き方の手順**

部分分数分解を行います。

$\frac{4x - 3}{(2x + 1)(1 + x^2)} = \frac{A}{2x + 1} + \frac{Bx + C}{1 + x^2}$

$4x - 3 = A(1 + x^2) + (Bx + C)(2x + 1) = Ax^2 + A + 2Bx^2 + Bx + 2Cx + C = (A + 2B)x^2 + (B + 2C)x + (A + C)$

係数を比較します。

$A + 2B = 0$

$B + 2C = 4$

$A + C = -3$

$A = -2B$ および $C = -3 - A = -3 + 2B$ を $B + 2C = 4$ に代入します。

$B + 2(-3 + 2B) = 4 \Rightarrow B - 6 + 4B = 4 \Rightarrow 5B = 10 \Rightarrow B = 2$

$A = -2(2) = -4$

$C = -3 + 2(2) = 1$

$\int_0^\infty \left(\frac{-4}{2x + 1} + \frac{2x + 1}{1 + x^2}\right) dx = \int_0^\infty \left(\frac{-4}{2x + 1} + \frac{2x}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + x^2}\right) dx$

$\left[-2 \ln|2x + 1| + \ln|1 + x^2| + \arctan x\right]_0^\infty$

$\left[\ln\left(\frac{1 + x^2}{(2x + 1)^2}\right) + \arctan x\right]_0^\infty$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1 + x^2}{(2x + 1)^2} \to \frac{1}{4}$ となり、$\ln\left(\frac{1 + x^2}{(2x + 1)^2}\right) \to \ln\left(\frac{1}{4}\right) = - \ln 4 = -2 \ln 2$

$x = 0$ のとき、$\frac{1 + x^2}{(2x + 1)^2} = 1$ なので、$\ln\left(\frac{1 + x^2}{(2x + 1)^2}\right) = \ln(1) = 0$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\left(-2 \ln 2 + \frac{\pi}{2}\right) - (0 + 0) = -2 \ln 2 + \frac{\pi}{2}$

2. **最終的な答え**

$\frac{\pi}{2} - 2 \ln 2$

## 6) $\int_{-1}^1 \frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$

1. **解き方の手順**

部分積分を使用します。$u = \arcsin x$, $dv = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ とします。すると、$du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$, $v = -2\sqrt{1 - x^2}$ となります。

$\int u dv = uv - \int v du$

$\int_{-1}^1 \frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \left[-2\sqrt{1 - x^2} \arcsin x\right]_{-1}^1 - \int_{-1}^1 \frac{-2\sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{1 - x^2}} dx$

$\left[-2\sqrt{1 - x^2} \arcsin x\right]_{-1}^1 + \int_{-1}^1 2 dx = (-2(0)\arcsin(1) + 2(0)\arcsin(-1)) + [2x]_{-1}^1 = 0 + (2(1) - 2(-1)) = 2 + 2 = 4$

2. **最終的な答え**

$4$