直方体の頂点B, D, Eを結び、三角錐A-BDEを作成した。この三角錐の体積を求める。直方体の辺の長さは、AD = 5cm, AB = 6cm, AE = 7cmである。

1. 問題の内容

直方体の頂点B, D, Eを結び、三角錐A-BDEを作成した。この三角錐の体積を求める。直方体の辺の長さは、AD = 5cm, AB = 6cm, AE = 7cmである。

2. 解き方の手順

三角錐A-BDEの体積を求めるためには、まず直方体の体積を計算し、そこから不要な部分の体積を引いていく方法を用いる。

まず直方体全体の体積Vは、

$V = 5 \times 6 \times 7 = 210 \text{ cm}^3$

次に、三角錐A-BDE以外の四面体の体積を計算する。

* 四面体A-ABD：$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times AB \times AD \times AA = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 6 \times 5 \times 7 = 35 \text{ cm}^3$

* 四面体A-ABE：$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times AB \times AE \times AA = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 6 \times 7 \times 5 = 35 \text{ cm}^3$

* 四面体A-ADE：$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times AD \times AE \times AA = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times 6 = 35 \text{ cm}^3$

したがって、三角錐A-BDEの体積は、直方体の体積からこれらの四面体の体積を引くことで求められる。

$V_{\text{A-BDE}} = V - (V_{\text{A-ABD}} + V_{\text{A-ABE}} + V_{\text{A-ADE}})$

$V_{\text{A-BDE}} = 210 - (35 + 35 + 35) = 210 - 105 = 105 \text{ cm}^3$

3. 最終的な答え

105 cm$^3$