与えられた定積分 $$\int_0^{\frac{2\pi}{3}} \frac{\sin x}{\sqrt{4\cos x + 5}} dx$$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$$\int_0^{\frac{2\pi}{3}} \frac{\sin x}{\sqrt{4\cos x + 5}} dx$$

を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 4\cos x + 5$ とおくと、$du = -4\sin x dx$ より、$\sin x dx = -\frac{1}{4} du$ となります。

次に、積分範囲を変更します。

$x = 0$ のとき、$u = 4\cos 0 + 5 = 4(1) + 5 = 9$

$x = \frac{2\pi}{3}$ のとき、$u = 4\cos \frac{2\pi}{3} + 5 = 4(-\frac{1}{2}) + 5 = -2 + 5 = 3$

したがって、積分は

$$\int_9^3 \frac{1}{\sqrt{u}} \left(-\frac{1}{4}\right) du = -\frac{1}{4} \int_9^3 u^{-\frac{1}{2}} du$$

となります。積分範囲を反転させると、

$$\frac{1}{4} \int_3^9 u^{-\frac{1}{2}} du$$

となります。

$u^{-\frac{1}{2}}$ の積分は $2u^{\frac{1}{2}}$ であるから、

$$\frac{1}{4} \left[ 2u^{\frac{1}{2}} \right]_3^9 = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{u} \right]_3^9$$

$$= \frac{1}{2} (\sqrt{9} - \sqrt{3}) = \frac{1}{2} (3 - \sqrt{3})$$

$$= \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$