$\int \sec x \, dx$ を計算する問題です。ただし、$x$ は $\frac{\pi}{2}$ の奇数倍ではない実数です。ここで、$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ であることが与えられています。

1. 問題の内容

$\int \sec x \, dx$ を計算する問題です。ただし、$x$ は $\frac{\pi}{2}$ の奇数倍ではない実数です。ここで、$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ であることが与えられています。

2. 解き方の手順

$\int \sec x \, dx$ を求めるために、$\sec x$ に $\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}$ を掛けます。

$\int \sec x \, dx = \int \sec x \cdot \frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x} \, dx = \int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} \, dx$

ここで、$u = \sec x + \tan x$ と置換します。すると、

$\frac{du}{dx} = \sec x \tan x + \sec^2 x$

となり、

$du = (\sec^2 x + \sec x \tan x) \, dx$

が成り立ちます。したがって、

$\int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du$

$\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C = \ln |\sec x + \tan x| + C$

3. 最終的な答え

$\int \sec x \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$