円錐Aと円柱Bがある。円錐Aの底面の半径は円柱Bの底面の半径の半分であり、円錐Aと円柱Bの高さは同じである。円錐Aの体積と円柱Bの体積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

1. 問題の内容

円錐Aと円柱Bがある。円錐Aの底面の半径は円柱Bの底面の半径の半分であり、円錐Aと円柱Bの高さは同じである。円錐Aの体積と円柱Bの体積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

2. 解き方の手順

まず、円柱Bの底面の半径を $r$ 、高さを $h$ とします。

円錐Aの底面の半径は、円柱Bの底面の半径の半分なので、 $r/2$ となります。

円錐Aと円柱Bの高さは同じなので、円錐Aの高さも $h$ となります。

次に、円錐Aの体積 $V_A$ を求めます。円錐の体積は、底面積×高さ×(1/3)で求められます。

円錐Aの底面積は $\pi (r/2)^2 = \pi r^2 / 4$ なので、

$V_A = (\pi r^2 / 4) \times h \times (1/3) = \pi r^2 h / 12$

次に、円柱Bの体積 $V_B$ を求めます。円柱の体積は、底面積×高さで求められます。

円柱Bの底面積は $\pi r^2$ なので、

$V_B = \pi r^2 \times h = \pi r^2 h$

最後に、円錐Aの体積と円柱Bの体積の比 $V_A : V_B$ を求めます。

$V_A : V_B = (\pi r^2 h / 12) : (\pi r^2 h)$

$\pi r^2 h$ で割ると、

$V_A : V_B = (1/12) : 1$

両辺を12倍すると、

$V_A : V_B = 1 : 12$

3. 最終的な答え

1 : 12