底面が直角三角形、側面が長方形である三角柱ABC-DEFがある。$\angle ABC=90^\circ$, $AB=4cm$, $BC=6cm$, $AD=12cm$であり、辺AD, BE, CF上に点P, Q, Rがそれぞれ$AP=6cm$, $BQ=7cm$, $CR=3cm$となるように存在する。 (1) ねじれの位置にある辺の組み合わせを4つの選択肢の中から1つ選ぶ。 (2) 立体PQR-DEFの体積を求める。

1. 問題の内容

底面が直角三角形、側面が長方形である三角柱ABC-DEFがある。$\angle ABC=90^\circ$, $AB=4cm$, $BC=6cm$, $AD=12cm$であり、辺AD, BE, CF上に点P, Q, Rがそれぞれ$AP=6cm$, $BQ=7cm$, $CR=3cm$となるように存在する。

(1) ねじれの位置にある辺の組み合わせを4つの選択肢の中から1つ選ぶ。

(2) 立体PQR-DEFの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

ねじれの位置にあるとは、同一平面上にない2つの辺のことである。

ア. 辺ABと辺BE：点Bで交わるため、同一平面上にある。

イ. 辺ACと辺DF：平行であるため、同一平面上にある。

ウ. 辺ABと辺EF：ねじれの位置にある。

エ. 辺ACと辺BC：点Cで交わるため、同一平面上にある。

したがって、ねじれの位置にある辺の組み合わせは、辺ABと辺EFである。

(2)

立体PQR-DEFの体積は、三角柱ABC-DEFの体積から三角錐A-PQRの体積を引いたものになる。

三角柱ABC-DEFの体積は、底面積×高さで計算できる。底面積は直角三角形ABCの面積なので、

$\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$

高さはAD=12cmなので、三角柱ABC-DEFの体積は、

$12 \times 12 = 144 cm^3$

次に、三角錐A-PQRの体積を求める。三角錐A-PQRの体積は $\frac{1}{6}|(AP \times AQ) \cdot AR|$で計算できる。しかし、座標が与えられていないため、別のアプローチを取る。

三角錐A-PQRの体積は、三角錐C-PQRを考えることで求めることができる。

三角錐C-PQRの体積は、三角錐ABC-PQRの体積から三角錐ABCの体積を引くことで求める。

三角錐C-PQRの体積を直接求める。

PQを結び、△PQRを底面とする四面体PQR-Cの体積を計算する。

三角錐PQR-Cの体積は、四面体PQR-ABCの体積を計算することで求められる。

三角柱ABC-DEFから三角錐PQR-DEFの体積を求める代わりに、三角柱ABC-DEFから三角錐A-PQR、B-PQR、C-PQRを引くことを考える。

三角錐PQR-ABCの体積は、

$\frac{1}{6} | \vec{AP} \cdot (\vec{AQ} \times \vec{AR}) |$である。

ここで$\vec{AP}=(0,0,6)$, $\vec{AB}=(4,0,0)$, $\vec{AC}=(0,6,0)$.

$\vec{AQ}=\vec{AP}+\vec{PB}+\vec{BQ}$, $\vec{AR}=\vec{AC}+\vec{CR}$.

なので、

$\vec{AQ} = (4,0,6) + (0,7,-6) = (4,7,0)$

$\vec{AR} = (0,6,0) + (0,0,-3) = (0,6,3)$

$\vec{AQ} \times \vec{AR} = (4,7,0) \times (0,6,3) = (21-0,0-12,24-0) = (21,-12,24)$

$\vec{AP} \cdot (\vec{AQ} \times \vec{AR}) = (0,0,6) \cdot (21,-12,24) = 0+0+144 = 144$

三角錐A-PQRの体積 = $\frac{1}{6}|144|=24$.

求める体積は $144-24 = 120 cm^3$.

3. 最終的な答え

(1) ウ

(2) $120 cm^3$