$\int \frac{dx}{3\cos^2x + 1}$を計算します。

以下に、提示された画像に含まれる問題の解答をそれぞれ示します。

**問題 4**

1. 問題の内容

$\int \frac{dx}{3\cos^2x + 1}$を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母と分子を$\cos^2x$で割ります。

$$\int \frac{dx}{3\cos^2x + 1} = \int \frac{\frac{1}{\cos^2x}}{3 + \frac{1}{\cos^2x}} dx = \int \frac{\sec^2x}{3 + \sec^2x} dx$$

次に、$\sec^2x = 1 + \tan^2x$の関係を使用します。

$$\int \frac{\sec^2x}{3 + \sec^2x} dx = \int \frac{\sec^2x}{3 + 1 + \tan^2x} dx = \int \frac{\sec^2x}{4 + \tan^2x} dx$$

ここで、$u = \tan x$と置換すると、$du = \sec^2x dx$となります。

$$\int \frac{\sec^2x}{4 + \tan^2x} dx = \int \frac{du}{4 + u^2} = \int \frac{du}{2^2 + u^2}$$

これは$\frac{1}{a} \arctan(\frac{u}{a})$の形であるため、

$$\int \frac{du}{2^2 + u^2} = \frac{1}{2} \arctan(\frac{u}{2}) + C = \frac{1}{2} \arctan(\frac{\tan x}{2}) + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{2} \arctan\left(\frac{\tan x}{2}\right) + C$$

**問題 5**

1. 問題の内容

$\int_0^{\infty} \frac{4x - 3}{(2x + 1)(1 + x^2)} dx$を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を行います。

$$\frac{4x - 3}{(2x + 1)(1 + x^2)} = \frac{A}{2x + 1} + \frac{Bx + C}{1 + x^2}$$

両辺に$(2x+1)(1+x^2)$をかけて、

$$4x - 3 = A(1 + x^2) + (Bx + C)(2x + 1) = A + Ax^2 + 2Bx^2 + Bx + 2Cx + C$$

$$4x - 3 = (A + 2B)x^2 + (B + 2C)x + (A + C)$$

係数を比較すると、

$A + 2B = 0$

$B + 2C = 4$

$A + C = -3$

この連立方程式を解くと、$A = -2, B = 1, C = -1$となります。

したがって、

$$\frac{4x - 3}{(2x + 1)(1 + x^2)} = \frac{-2}{2x + 1} + \frac{x - 1}{1 + x^2} = -\frac{2}{2x + 1} + \frac{x}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2}$$

積分を計算します。

$$\int_0^{\infty} \left(-\frac{2}{2x + 1} + \frac{x}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2}\right) dx = \left[-\ln(2x + 1) + \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) - \arctan(x)\right]_0^{\infty}$$

$$= \left[\ln\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{2x+1}\right)-\arctan(x)\right]_0^{\infty}$$

$\lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{1+x^2}}{2x+1} = \frac{1}{2}$ なので、

$\lim_{x\to\infty} \ln\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{2x+1}\right) = \ln(\frac{1}{2})$

$$\left[\ln\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{2x+1}\right)-\arctan(x)\right]_0^{\infty} = \ln(\frac{1}{2}) - \frac{\pi}{2} - (\ln(1)- \arctan(0)) = \ln(\frac{1}{2}) - \frac{\pi}{2} = -\ln(2) - \frac{\pi}{2}$$

3. 最終的な答え

$$-\ln 2 - \frac{\pi}{2}$$

**問題 6**

1. 問題の内容

$\int_{-1}^{1} \frac{2x\sin^{-1}x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin\theta$と置換します。$dx = \cos\theta d\theta$となり、$\sqrt{1 - x^2} = \cos\theta$となります。積分範囲は$x=-1$のとき$\theta=-\frac{\pi}{2}$、$x=1$のとき$\theta=\frac{\pi}{2}$となります。

$$\int_{-1}^{1} \frac{2x\sin^{-1}x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{2\sin\theta \cdot \theta}{\cos\theta} \cos\theta d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\theta\sin\theta d\theta$$

被積分関数$2\theta\sin\theta$は偶関数なので、

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\theta\sin\theta d\theta = 2\int_{0}^{\pi/2} 2\theta\sin\theta d\theta = 4\int_{0}^{\pi/2} \theta\sin\theta d\theta$$

部分積分を行います。$u = \theta, dv = \sin\theta d\theta$とすると、$du = d\theta, v = -\cos\theta$となります。

$$4\int_{0}^{\pi/2} \theta\sin\theta d\theta = 4\left[-\theta\cos\theta\right]_0^{\pi/2} + 4\int_0^{\pi/2} \cos\theta d\theta = 4(0) + 4\left[\sin\theta\right]_0^{\pi/2} = 4(1 - 0) = 4$$

3. 最終的な答え

$$4$$