袋の中に12個の玉が入っており、そのうち6個は赤玉、6個は白玉です。この中から3個の玉を取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求めます。

1. 問題の内容

袋の中に12個の玉が入っており、そのうち6個は赤玉、6個は白玉です。この中から3個の玉を取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求めます。

2. 解き方の手順

少なくとも1個が白玉である確率を直接計算する代わりに、余事象である「3個とも赤玉である」確率を計算し、それを1から引くことで求めます。

まず、3個の玉を取り出すすべての組み合わせの数を計算します。これは、12個から3個を選ぶ組み合わせなので、$_{12}C_3$で表されます。

$_{12}C_3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$

次に、3個とも赤玉である組み合わせの数を計算します。これは、6個の赤玉から3個を選ぶ組み合わせなので、$_{6}C_3$で表されます。

$_{6}C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、3個とも赤玉である確率は、$\frac{_{6}C_3}{_{12}C_3} = \frac{20}{220} = \frac{1}{11}$です。

少なくとも1個が白玉である確率は、1から3個とも赤玉である確率を引いたものなので、

$1 - \frac{1}{11} = \frac{11}{11} - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{11}$