1つのサイコロを3回振って出た目の数を順に $a, b, c$ とするとき、$a < b < c$ となる確率を求めます。

1. 問題の内容

1つのサイコロを3回振って出た目の数を順に $a, b, c$ とするとき、$a < b < c$ となる確率を求めます。

2. 解き方の手順

まず、サイコロを3回振ったときのすべての出目の組み合わせの総数を求めます。各回の出目は1から6のいずれかなので、全部で $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りの組み合わせがあります。

次に、$a < b < c$ となるような組み合わせの数を数えます。

$a, b, c$ は1から6までの異なる整数であり、これらの大小関係が $a < b < c$ である組み合わせの数を求めます。

これは、1から6までの異なる3つの数を選ぶ組み合わせの数と同じです。組み合わせの数は、順列と異なり、順番を考慮しません。

6つの数字から3つを選ぶ組み合わせは、二項係数で表され、$_{6}C_{3}$ で計算できます。

$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、$a < b < c$ となる組み合わせの数は20通りです。

最後に、確率を計算します。確率は、該当する組み合わせの数をすべての組み合わせの数で割ったものです。

確率は $\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{5}{54}$