$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin^2 x + 2\sin x \cos x - \cos^2 x$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin^2 x + 2\sin x \cos x - \cos^2 x$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を三角関数の公式を用いて変形する。

$\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$

$2 \sin x \cos x = \sin 2x$

よって、

$y = \sin 2x - \cos 2x$

次に、$y$ を合成する。

$y = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x \right)$

$y = \sqrt{2} \left( \sin 2x \cos \frac{\pi}{4} - \cos 2x \sin \frac{\pi}{4} \right)$

$y = \sqrt{2} \sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ より、

$0 \le 2x \le \pi$

$-\frac{\pi}{4} \le 2x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$

したがって、$-\frac{\pi}{4} \le 2x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$ の範囲で $\sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ のとりうる値を考える。

$-\frac{\pi}{4}$ で $\sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となり、$\frac{\pi}{2}$ で $\sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 1$ となるから、$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1$

よって、

$\sqrt{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \le \sqrt{2} \sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2} (1)$

$-1 \le y \le \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-1 \le y \le \sqrt{2}$