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与えられた複素数の式 $ \frac{1}{1+2i} - \frac{1}{1-2i} $ を計算し、結果を求めます。

代数学複素数複素数の計算分数通分
2025/7/30

1. 問題の内容

与えられた複素数の式 11+2i−11−2i \frac{1}{1+2i} - \frac{1}{1-2i} を計算し、結果を求めます。

2. 解き方の手順

まず、通分して分母を払います。
11+2i−11−2i=(1−2i)−(1+2i)(1+2i)(1−2i) \frac{1}{1+2i} - \frac{1}{1-2i} = \frac{(1-2i) - (1+2i)}{(1+2i)(1-2i)}
次に、分子を計算します。
(1−2i)−(1+2i)=1−2i−1−2i=−4i (1-2i) - (1+2i) = 1 - 2i - 1 - 2i = -4i
次に、分母を計算します。
(1+2i)(1−2i)=1−(2i)2=1−4i2=1−4(−1)=1+4=5 (1+2i)(1-2i) = 1 - (2i)^2 = 1 - 4i^2 = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5
したがって、
11+2i−11−2i=−4i5=−45i \frac{1}{1+2i} - \frac{1}{1-2i} = \frac{-4i}{5} = -\frac{4}{5}i

3. 最終的な答え

−45i -\frac{4}{5}i

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