与えられた複素数の分数の和を計算する問題です。 $\frac{1}{1+2i} + \frac{1}{1-3i}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた複素数の分数の和を計算する問題です。

$\frac{1}{1+2i} + \frac{1}{1-3i}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

$1+2i$ の共役複素数は $1-2i$ であり、$1-3i$ の共役複素数は $1+3i$ です。

それぞれの分数の分子と分母に共役複素数を掛けます。

$\frac{1}{1+2i} = \frac{1}{1+2i} \cdot \frac{1-2i}{1-2i} = \frac{1-2i}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{1-2i}{1 - (2i)^2} = \frac{1-2i}{1 - (-4)} = \frac{1-2i}{5}$

$\frac{1}{1-3i} = \frac{1}{1-3i} \cdot \frac{1+3i}{1+3i} = \frac{1+3i}{(1-3i)(1+3i)} = \frac{1+3i}{1 - (3i)^2} = \frac{1+3i}{1 - (-9)} = \frac{1+3i}{10}$

次に、これらの結果を足し合わせます。

$\frac{1-2i}{5} + \frac{1+3i}{10} = \frac{2(1-2i)}{10} + \frac{1+3i}{10} = \frac{2-4i}{10} + \frac{1+3i}{10} = \frac{2-4i+1+3i}{10} = \frac{3-i}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{3-i}{10} = \frac{3}{10} - \frac{1}{10}i$