3つの対数 $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$, $\log_{\frac{1}{4}} 3$, $\log_{\frac{1}{8}} 3$ の値を小さい順に並べる。

1. 問題の内容

3つの対数 $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$, $\log_{\frac{1}{4}} 3$, $\log_{\frac{1}{8}} 3$ の値を小さい順に並べる。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの対数の値を計算しやすい形に変形する。底を3に統一することを考える。

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9} = \frac{\log_3 \frac{1}{9}}{\log_3 \frac{1}{2}} = \frac{\log_3 3^{-2}}{\log_3 2^{-1}} = \frac{-2}{-\log_3 2} = \frac{2}{\log_3 2}$

$\log_{\frac{1}{4}} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 \frac{1}{4}} = \frac{1}{\log_3 4^{-1}} = \frac{1}{-\log_3 4} = \frac{1}{-\log_3 2^2} = \frac{1}{-2\log_3 2} = -\frac{1}{2\log_3 2}$

$\log_{\frac{1}{8}} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 \frac{1}{8}} = \frac{1}{\log_3 8^{-1}} = \frac{1}{-\log_3 8} = \frac{1}{-\log_3 2^3} = \frac{1}{-3\log_3 2} = -\frac{1}{3\log_3 2}$

ここで $a = \log_3 2$ とおくと、3つの対数はそれぞれ $\frac{2}{a}$, $-\frac{1}{2a}$, $-\frac{1}{3a}$ と表せる。$a = \log_3 2$ は $1 < 2 < 3$ より正の値であるから、$a > 0$。したがって、

$\frac{2}{a} > 0$, $-\frac{1}{2a} < 0$, $-\frac{1}{3a} < 0$

である。よって、$\frac{2}{a}$ が最も大きい。

$-\frac{1}{2a}$ と $-\frac{1}{3a}$ の大小を比較する。$-\frac{1}{2a} > -\frac{1}{3a}$ であるから、$-\frac{1}{3a}$ が最も小さい。

したがって、$-\frac{1}{3a} < -\frac{1}{2a} < \frac{2}{a}$ である。

元の対数に戻すと、

$\log_{\frac{1}{8}} 3 < \log_{\frac{1}{4}} 3 < \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$ となる。

3. 最終的な答え

$\log_{\frac{1}{8}} 3, \log_{\frac{1}{4}} 3, \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$