不等式 $2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

1. 問題の内容

不等式 $2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $2^n < 1000$ の両辺の常用対数（底が10の対数）を取ります。

$\log_{10}2^n < \log_{10}1000$

対数の性質 $\log_a b^c = c \log_a b$ を使うと、

$n \log_{10}2 < \log_{10}1000$

$\log_{10}1000 = \log_{10}10^3 = 3$ なので、

$n \log_{10}2 < 3$

$\log_{10}2 = 0.3010$ を代入すると、

$0.3010 n < 3$

両辺を 0.3010 で割ると、

$n < \frac{3}{0.3010} = \frac{3000}{301}$

$\frac{3000}{301} \approx 9.96677...$ となるので、$n < 9.96677...$ を満たす最大の整数 $n$ は 9 です。

3. 最終的な答え

9