不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の両辺の常用対数をとります。

$\log_{10} (\frac{1}{2})^n < \log_{10} 0.01$

対数の性質より、

$n \log_{10} \frac{1}{2} < \log_{10} 10^{-2}$

$n \log_{10} 2^{-1} < -2$

$-n \log_{10} 2 < -2$

両辺に -1 をかけて不等号の向きを変えます。

$n \log_{10} 2 > 2$

$\log_{10} 2 = 0.3010$ を代入します。

$0.3010n > 2$

$n > \frac{2}{0.3010}$

$n > \frac{2000}{301}$

$n > 6.6445...$

$n$ は整数であるため、これを満たす最小の整数は7です。

3. 最終的な答え

7