$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\tan \theta$ を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

1. 問題の内容

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\tan \theta$ を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という関係式を利用して $\cos \theta$ を求めます。

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$(\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲では $\cos \theta > 0$ であるから、

$\cos \theta = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

有理化すると、

$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$