$-2\sin\theta - 2\cos\theta$ の最大値と、そのときの $\theta$ の値を求めよ。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。

1. 問題の内容

$-2\sin\theta - 2\cos\theta$ の最大値と、そのときの $\theta$ の値を求めよ。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。三角関数の合成を利用します。

$-2\sin\theta - 2\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$ の形を目指します。ここで、$R$ は合成後の振幅、$\alpha$ は位相のずれを表します。

$R\sin(\theta + \alpha) = R(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) = (R\cos\alpha)\sin\theta + (R\sin\alpha)\cos\theta$

これを $-2\sin\theta - 2\cos\theta$ と比較すると、

$R\cos\alpha = -2$

$R\sin\alpha = -2$

両辺を2乗して足し合わせると、

$R^2\cos^2\alpha + R^2\sin^2\alpha = (-2)^2 + (-2)^2$

$R^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 4 + 4$

$R^2 = 8$

$R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ (R > 0)

また、$\cos\alpha = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\alpha = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ であるから、$\alpha = \frac{5}{4}\pi$ となります。

したがって、

$-2\sin\theta - 2\cos\theta = 2\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{5}{4}\pi)$

$\sin(\theta + \frac{5}{4}\pi)$ の最大値は1なので、$2\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{5}{4}\pi)$ の最大値は $2\sqrt{2}$ です。

このとき、$\sin(\theta + \frac{5}{4}\pi) = 1$ であるから、

$\theta + \frac{5}{4}\pi = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (nは整数)

$\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{5}{4}\pi + 2n\pi = \frac{2\pi - 5\pi}{4} + 2n\pi = -\frac{3}{4}\pi + 2n\pi$

$0 \le \theta < 2\pi$ であるから、

$n=1$ のとき $\theta = -\frac{3}{4}\pi + 2\pi = \frac{5}{4}\pi$

3. 最終的な答え

最大値: $2\sqrt{2}$

$\theta$ の値: $\frac{5}{4}\pi$