3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ は実数解を何個持つか。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ は実数解を何個持つか。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式を因数分解します。

$x = 1$ を代入すると、

$1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$

となるため、$x = 1$ は解の一つです。

したがって、$x - 1$ は因数です。

与えられた式を $x - 1$ で割ります。

$x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x^2 + 4x + 4)$

ここで、$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ と因数分解できます。

したがって、$x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x + 2)^2 = 0$

よって、解は $x = 1$ と $x = -2$ です。$x = -2$ は重解です。

実数解の個数は、$1$ と $-2$ の2つです。

3. 最終的な答え

2個