問題4は絶対値記号を含む方程式 $|x^2 - x - 6| = 2x$ について、いくつかの設問に答える問題です。問題5は需要曲線 $P = 18 - 2Q$ と供給曲線 $P = Q$ が与えられた状況下で、完全競争市場と独占市場における均衡価格、取引量、余剰、企業の収入、費用、利潤を計算する問題です。

1. 問題の内容

問題4は絶対値記号を含む方程式 $|x^2 - x - 6| = 2x$ について、いくつかの設問に答える問題です。問題5は需要曲線 $P = 18 - 2Q$ と供給曲線 $P = Q$ が与えられた状況下で、完全競争市場と独占市場における均衡価格、取引量、余剰、企業の収入、費用、利潤を計算する問題です。

2. 解き方の手順

問題4

(1) $x^2 - x - 6$ が負になる $x$ の範囲を求める。

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) < 0$ より、$-2 < x < 3$。したがって、(ア)は-2、(イ)は3。

(2) $-2 < x < 3$ のとき、$|x^2 - x - 6| = -x^2 + x + 6$。

$-x^2 + x + 6 = 2x$ を解く。

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x+3)(x-2) = 0$

$x = -3, 2$

$-2 < x < 3$ の範囲なので、$x = 2$。したがって、(ウ)は2。

(3) $x^2 - x - 6 = 2x$ を解く。

$x^2 - 3x - 6 = 0$

解の公式より、$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$。したがって、(オ)は3、(※)は33、(エ)は2。

$|x^2-x-6|$ の値が負ではない$x$の範囲は、$x \le -2$または$x \ge 3$。

$|x^2 - x - 6| = 2x$ が成立する $x$ の値を考える。$x\le-2$では$x^2-x-6$は正であり、$x^2-x-6 = 2x$より、$x^2-3x-6=0$。この方程式の解は(3)で求めたように$x=\frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$であり、$\frac{3-\sqrt{33}}{2} \le -2$なので、この解は条件を満たす。また、$x\ge3$では$x^2-x-6$は正であり、$x^2-x-6 = 2x$より、$x^2-3x-6=0$。この方程式の解は(3)で求めたように$x=\frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$であり、$\frac{3+\sqrt{33}}{2} \ge 3$なので、この解は条件を満たす。$-2 < x < 3$の範囲では、$x=2$という解が見つかっているので、合計で3つ解が存在する。

したがって、(カ)は3。

問題5

(1) 完全競争市場では、$P = 18 - 2Q$ と $P = Q$ が等しい。

$18 - 2Q = Q$

$3Q = 18$

$Q = 6$。したがって、(イ)は6。

$P = 6$。したがって、(ア)は6。

消費者余剰は、$Q=0$から$Q=6$までの需要曲線の下の面積から、価格$P=6$を引いたもの。$\int_0^6 (18-2Q) dQ - 6*6 = [18Q - Q^2]_0^6 - 36 = 18*6 - 36 - 36 = 108 - 72 = 36$

生産者余剰は、$P=6$, $Q=6$なので、$6*6/2 = 18$

(2) 企業の収入は $P(Q) \times Q = (18 - 2Q) \times Q = 18Q - 2Q^2$。

したがって、(ウ)は2、(エ)は18、(オ)は1。

企業の費用は $C(Q) = \frac{1}{2}Q^2$。

利潤は $18Q - 2Q^2 - \frac{1}{2}Q^2 = 18Q - \frac{5}{2}Q^2$。

利潤を最大化するには、利潤を $Q$ で微分して0とおく。

$18 - 5Q = 0$

$Q = \frac{18}{5}$。したがって、(*)は18。

利潤は $18(\frac{18}{5}) - \frac{5}{2}(\frac{18}{5})^2 = \frac{18^2}{5} - \frac{18^2}{10} = \frac{324}{5} - \frac{324}{10} = \frac{324}{10} = 32.4 = \frac{162}{5}$。したがって、(▽▽)は162/5。

3. 最終的な答え

問題4:

(ア) -2

(イ) 3

(ウ) 2

(オ) 3

(※) 33

(エ) 2

(カ) 3

問題5:

(ア) 6

(イ) 6

消費者余剰 (※※): 36

生産者余剰 (☆☆): 18

企業の収入: -(ウ) Q² + (エ) (オ) Q = -2Q² + 18Q

(*) 18

(▽▽) 162/5