数列に関する問題と、指数方程式に関する問題です。 (1) 等比数列の第3項と初項から第8項までの和を求めます。 (2) 数列の規則性を見つけて、次の項を求めます。 (3) 無限等比級数の和を求めます。 (4) 漸化式を解き、一般項を求めます。 (5) 指数方程式を変形し、解を求めます。

1. 問題の内容

数列に関する問題と、指数方程式に関する問題です。

(1) 等比数列の第3項と初項から第8項までの和を求めます。

(2) 数列の規則性を見つけて、次の項を求めます。

(3) 無限等比級数の和を求めます。

(4) 漸化式を解き、一般項を求めます。

(5) 指数方程式を変形し、解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 初項 $a=2$、公比 $r=2$ の等比数列の第 $n$ 項は $ar^{n-1}$ で表されます。

第3項は $2 \times 2^{3-1} = 2 \times 2^2 = 2 \times 4 = 8$ です。

初項から第8項までの和は $\frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{2(2^8 - 1)}{2-1} = 2(256 - 1) = 2 \times 255 = 510$ です。

(2) 与えられた数列は $0, 1, 3, 6, 10, 15, \dots$ です。

階差数列を考えると、$1, 2, 3, 4, 5, \dots$ となります。

したがって、次の階差は $6$ となり、求める項は $15 + 6 = 21$ です。

(3) 初項 $a=1$、公比 $r=\frac{1}{3}$ の無限等比級数の和は $\frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$ です。

(4) 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 2$ を解きます。

$a_{n+1} + 2 = 2(a_n + 2)$ と変形できます。

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となり、$b_n$ は公比2の等比数列です。

$b_1 = a_1 + 2 = 0 + 2 = 2$ より、$b_n = 2 \times 2^{n-1} = 2^n$ です。

したがって、$a_n = b_n - 2 = 2^n - 2$ です。

(5) $4^x - 4^{\log_2 \sqrt{3}} \cdot 2^x - 4 = 0$

$2^x = X$ とおくと、$(2^x)^2 - 4^{\log_2 \sqrt{3}} \cdot 2^x - 4 = 0$ となります。

$4^{\log_2 \sqrt{3}} = (2^2)^{\log_2 \sqrt{3}} = 2^{2 \log_2 \sqrt{3}} = 2^{\log_2 (\sqrt{3})^2} = 2^{\log_2 3} = 3$

したがって、$X^2 - 3X - 4 = 0$

$(X - 4)(X + 1) = 0$

$X = 4, -1$ が解の候補です。

$2^x = X$ より、$X > 0$ である必要があります。

したがって、$X = 4$ のみが解の候補です。

$2^x = 4 = 2^2$ より、$x = 2$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) (ア) 8, (イ) 5 (ウ) 1 (エ) 0

(2) (オ) 2 (カ) 1

(3) (キ) 2

(4) (ク) 2, (ケ) 2

(5) (ア) 3, (イ) 4, (ウ) 1, (エ) 0, (オ) 2