3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

3次関数 $f(x) = x^3 - 6x + 4$ を考えます。

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = -\sqrt{2}$ と $x = \sqrt{2}$ は $f(x)$ の極値を与える $x$ の値です。

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 4 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 4 = 4\sqrt{2} + 4 > 0$

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 4 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 4 = -4\sqrt{2} + 4 < 0$

$f(-\sqrt{2}) > 0$ かつ $f(\sqrt{2}) < 0$ であることから、$f(x)$ は $x = -\sqrt{2}$ で極大値を持ち、$x = \sqrt{2}$ で極小値を持つことが分かります。

また、$f(-\infty) = -\infty$, $f(\infty) = \infty$ であることも考慮すると、$f(x) = 0$ は3つの異なる実数解を持つことが分かります。

$f(0) = 4 > 0$

$f(1) = 1 - 6 + 4 = -1 < 0$

$f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$

よって、$x = 2$ は $f(x)$ の解の一つです。

$f(x)$ を $(x - 2)$ で割ると

$x^3 - 6x + 4 = (x - 2)(x^2 + 2x - 2)$

$x^2 + 2x - 2 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

$x = -1 - \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3}$

したがって、$f(x) = 0$ の解は $x = 2, -1 - \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3}$ の３つです。

3. 最終的な答え

3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ は実数解を3個持つ。