3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 9x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 9x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次関数を $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + a$ とおく。

この関数が異なる2つの実数解を持つためには、$f(x)$ のグラフが $x$軸と2点で交わる必要がある。これは、$f(x)$ が極値を持ち、極大値または極小値のいずれかが0となる場合に起こる。

まず、$f(x)$ の導関数を求める。

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$$3x^2 - 6x - 9 = 0$$

$$x^2 - 2x - 3 = 0$$

$$(x - 3)(x + 1) = 0$$

したがって、$x = 3, -1$ が極値を与える $x$ の値である。

$x = -1$ のとき、

$$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + a = -1 - 3 + 9 + a = 5 + a$$

$x = 3$ のとき、

$$f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + a = 27 - 27 - 27 + a = -27 + a$$

$f(x)$ が異なる2つの実数解を持つためには、$f(-1) = 0$ または $f(3) = 0$ のいずれかが成り立つ必要がある。

また、$f(-1)f(3)=0$である。

もし、$f(-1) = 0$ なら、$5 + a = 0$ より $a = -5$ となる。

もし、$f(3) = 0$ なら、$-27 + a = 0$ より $a = 27$ となる。

したがって、$a = -5$ または $a = 27$ である。

3. 最終的な答え

$a = -5, 27$