放物線 $y=x^2$ と直線 $y=2x$ で囲まれる図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=2x$ で囲まれる図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つのグラフの交点を求めます。

$x^2 = 2x$ より、$x^2 - 2x = 0$。

$x(x-2) = 0$ となるので、$x=0, 2$ が交点の $x$ 座標です。

したがって、交点は $(0, 0)$ と $(2, 4)$ です。

次に、囲まれた図形の面積を求めます。

$0 \le x \le 2$ において、$y=2x$ が $y=x^2$ より上にあるので、面積 $S$ は次のように計算できます。

$S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$

$S = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$

$S = \left( (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) \right)$

$S = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$