極限値 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - 5} - n)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極限値 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - 5} - n)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限は、$\infty - \infty$ の不定形であるため、有理化を行います。

まず、$\sqrt{n^2 - 5} - n$ に $\frac{\sqrt{n^2 - 5} + n}{\sqrt{n^2 - 5} + n}$ を掛けます。

$$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - 5} - n) = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - 5} - n) \cdot \frac{\sqrt{n^2 - 5} + n}{\sqrt{n^2 - 5} + n}$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2 - 5) - n^2}{\sqrt{n^2 - 5} + n}$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{-5}{\sqrt{n^2 - 5} + n}$$

ここで、分母の $\sqrt{n^2 - 5} + n$ を $n$ で割ります。

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{-5}{\sqrt{n^2(1 - \frac{5}{n^2})} + n}$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{-5}{n\sqrt{1 - \frac{5}{n^2}} + n}$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{-5}{n(\sqrt{1 - \frac{5}{n^2}} + 1)}$$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{5}{n^2} \to 0$ なので、

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{-5}{n(\sqrt{1 - 0} + 1)}$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{-5}{n(1 + 1)}$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{-5}{2n}$$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{-5}{2n} \to 0$ なので、

$$= 0$$

3. 最終的な答え

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