無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3(\frac{1}{2})^{n-1}$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3(\frac{1}{2})^{n-1}$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

無限等比級数の和の公式を利用します。

一般に、初項 $a$、公比 $r$ の無限等比級数の和 $S$ は、 $|r|<1$ のとき、

$S = \frac{a}{1-r}$

で与えられます。

与えられた級数は、初項 $n=1$ のとき $3(\frac{1}{2})^{1-1} = 3(\frac{1}{2})^0 = 3 \cdot 1 = 3$ ですから、$a = 3$ です。

公比は $\frac{1}{2}$ ですから、$r = \frac{1}{2}$ です。

$|r| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$ なので、無限等比級数は収束し、和を求めることができます。

したがって、無限等比級数の和 $S$ は、

$S = \frac{a}{1-r} = \frac{3}{1-\frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 3 \cdot 2 = 6$

となります。

3. 最終的な答え

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