$ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} $ を満たす実数 $x$ に対して、無限等比級数 $ 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots $ の和を求めよ。

1. 問題の内容

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たす実数 $x$ に対して、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた級数は、初項が $1$、公比が $2x$ の無限等比級数である。

無限等比級数 $a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots$ が収束するための条件は、公比 $r$ の絶対値が $1$ より小さいこと、すなわち $|r| < 1$ である。

このとき、無限等比級数の和は $\frac{a}{1-r}$ で与えられる。

今回の級数では、$a = 1$ であり、$r = 2x$ である。

したがって、この級数が収束するための条件は $|2x| < 1$、つまり $|x| < \frac{1}{2}$ である。

問題文より、$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ が与えられているので、この条件は満たされている。

したがって、この級数の和は

$S = \frac{1}{1 - 2x}$

となる。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1 - 2x}$