無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1}-3^{k-1}}{4^{k-1}}$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1}-3^{k-1}}{4^{k-1}}$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた級数を二つの級数に分解します。

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1}-3^{k-1}}{4^{k-1}} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1}}{4^{k-1}} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^{k-1}}{4^{k-1}}$$

次に、各級数を計算します。これは等比級数の和の公式 $\sum_{k=1}^{\infty} ar^{k-1} = \frac{a}{1-r}$ を利用できます（ただし、$|r| < 1$）。

最初の級数について、$\frac{2^{k-1}}{4^{k-1}} = (\frac{2}{4})^{k-1} = (\frac{1}{2})^{k-1}$ なので、

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1}}{4^{k-1}} = \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{k-1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

次の級数について、$\frac{3^{k-1}}{4^{k-1}} = (\frac{3}{4})^{k-1}$ なので、

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^{k-1}}{4^{k-1}} = \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{3}{4})^{k-1} = \frac{1}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$$

したがって、元の級数の和は、

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1}-3^{k-1}}{4^{k-1}} = 2 - 4 = -2$$

3. 最終的な答え

-2