与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \dots$ が収束するような実数 $x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \dots$ が収束するような実数 $x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

無限等比級数 $a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots$ が収束するための条件は、公比 $r$ が $-1 < r < 1$ を満たすことです。この問題の無限等比級数は、初項 $a = 1$ で、公比は $r = -\frac{x-1}{3}$ です。

したがって、無限等比級数が収束するためには、以下の条件を満たす必要があります。

$$-1 < -\frac{x-1}{3} < 1$$

この不等式を解きます。まず、各辺に $-1$ をかけると不等号の向きが変わります。

$$-1 < \frac{x-1}{3} < 1$$

次に、各辺に $3$ をかけます。

$$-3 < x-1 < 3$$

最後に、各辺に $1$ を加えます。

$$-3 + 1 < x < 3 + 1$$

$$-2 < x < 4$$

3. 最終的な答え

与えられた無限等比級数が収束するような実数 $x$ の範囲は、$-2 < x < 4$ です。