導関数の定義に従って、関数 $f(x) = (2x-1)^3$ を微分する問題です。

1. 問題の内容

導関数の定義に従って、関数 $f(x) = (2x-1)^3$ を微分する問題です。

2. 解き方の手順

導関数の定義は、次の式で表されます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

この定義に従って、$f(x) = (2x-1)^3$ の導関数を求めます。

まず、$f(x+h)$ を計算します。

$f(x+h) = (2(x+h) - 1)^3 = (2x + 2h - 1)^3$

次に、$f(x+h) - f(x)$ を計算します。

$f(x+h) - f(x) = (2x + 2h - 1)^3 - (2x - 1)^3$

ここで、$A = 2x - 1$ とおくと、$2x + 2h - 1 = A + 2h$ となります。

すると、

$(A+2h)^3 - A^3 = A^3 + 3A^2(2h) + 3A(2h)^2 + (2h)^3 - A^3 = 6A^2h + 12Ah^2 + 8h^3$

となります。

したがって、$f(x+h) - f(x) = 6(2x-1)^2h + 12(2x-1)h^2 + 8h^3$ となります。

次に、$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算します。

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{6(2x-1)^2h + 12(2x-1)h^2 + 8h^3}{h} = 6(2x-1)^2 + 12(2x-1)h + 8h^2$

最後に、$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算します。

$\lim_{h \to 0} [6(2x-1)^2 + 12(2x-1)h + 8h^2] = 6(2x-1)^2$

したがって、$f'(x) = 6(2x-1)^2$ となります。展開すると $6(4x^2 - 4x + 1) = 24x^2 - 24x + 6$となります。

3. 最終的な答え

$f'(x) = 6(2x-1)^2 = 24x^2 - 24x + 6$