導関数の定義に従って、関数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ を微分してください。

1. 問題の内容

導関数の定義に従って、関数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

です。これを用いて $f(x) = \frac{1}{x^2}$ を微分します。

まず、$f(x+h)$ を求めます。

$f(x+h) = \frac{1}{(x+h)^2}$

次に、$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算します。

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{\frac{1}{(x+h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h} = \frac{x^2 - (x+h)^2}{h x^2 (x+h)^2}$

$= \frac{x^2 - (x^2 + 2xh + h^2)}{h x^2 (x+h)^2} = \frac{-2xh - h^2}{h x^2 (x+h)^2}$

$= \frac{h(-2x - h)}{h x^2 (x+h)^2} = \frac{-2x - h}{x^2 (x+h)^2}$

最後に、$h \to 0$ の極限を計算します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2x - h}{x^2 (x+h)^2} = \frac{-2x}{x^2 (x)^2} = \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{2}{x^3}$