関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を展開して簡単にします。

$f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{2\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}$

次に、各項を微分します。

$f'(x) = \frac{d}{dx} (1 - 2x^{-1/2} + x^{-1})$

定数の微分は0であるため、$\frac{d}{dx}(1) = 0$ です。

$x^n$ の微分は $nx^{n-1}$ であることを利用します。

$\frac{d}{dx} (-2x^{-1/2}) = -2 \cdot (-\frac{1}{2}) x^{-3/2} = x^{-3/2}$

$\frac{d}{dx} (x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -x^{-2}$

したがって、

$f'(x) = 0 + x^{-3/2} - x^{-2} = \frac{1}{x^{3/2}} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{x^2\sqrt{x}} = \frac{x - \sqrt{x}}{x^2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{x^2 \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}-1}{x^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} = \frac{\sqrt{x}-1}{x^2}$