関数 $y = (x^3 - x)(x^2 + 1)(3x^4 + x^2)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^3 - x)(x^2 + 1)(3x^4 + x^2)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式を利用して微分します。3つの関数 $u$, $v$, $w$ の積の微分は

$\frac{d}{dx}(uvw) = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}$

で与えられます。

まず、各関数を定義します。

$u = x^3 - x$

$v = x^2 + 1$

$w = 3x^4 + x^2$

それぞれの導関数を計算します。

$\frac{du}{dx} = 3x^2 - 1$

$\frac{dv}{dx} = 2x$

$\frac{dw}{dx} = 12x^3 + 2x$

積の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = (3x^2 - 1)(x^2 + 1)(3x^4 + x^2) + (x^3 - x)(2x)(3x^4 + x^2) + (x^3 - x)(x^2 + 1)(12x^3 + 2x)$

これを展開して整理します。

$\frac{dy}{dx} = (3x^4 + 3x^2 - x^2 - 1)(3x^4 + x^2) + (2x^4 - 2x^2)(3x^4 + x^2) + (x^5 + x^3 - x^3 - x)(12x^3 + 2x)$

$\frac{dy}{dx} = (3x^4 + 2x^2 - 1)(3x^4 + x^2) + (2x^4 - 2x^2)(3x^4 + x^2) + (x^5 - x)(12x^3 + 2x)$

$\frac{dy}{dx} = 9x^8 + 3x^6 + 6x^6 + 2x^4 - 3x^4 - x^2 + 6x^8 + 2x^6 - 6x^6 - 2x^4 + 12x^8 + 2x^6 - 12x^4 - 2x^2$

$\frac{dy}{dx} = (9 + 6 + 12)x^8 + (3 + 6 + 2 - 6 + 2)x^6 + (2 - 3 - 2 - 12)x^4 + (-1 - 2)x^2$

$\frac{dy}{dx} = 27x^8 + 7x^6 - 15x^4 - 3x^2$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 27x^8 + 7x^6 - 15x^4 - 3x^2$