関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}$ の導関数を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}$ の導関数を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を展開して整理します。

$f(x) = \frac{(\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x} + 1}{x} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x} = 1 - \frac{2\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} = 1 - 2x^{-1/2} + x^{-1}$

次に、各項を微分します。

$\frac{d}{dx}(1) = 0$

$\frac{d}{dx}(-2x^{-1/2}) = -2(-\frac{1}{2})x^{-3/2} = x^{-3/2} = \frac{1}{x\sqrt{x}}$

$\frac{d}{dx}(x^{-1}) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

したがって、

$f'(x) = 0 + \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} = \frac{\sqrt{x}}{x^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{\sqrt{x} - 1}{x^2}$

3. 最終的な答え

選択肢の中で一致するものは3番の $\frac{\sqrt{x}-1}{x^2}$ です。

答え: 3