与えられた4つの広義積分について、それぞれの収束・発散を判定します。 (1) $\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin x} dx$ (2) $\int_{0}^{1} \frac{\log x}{x^2 + 1} dx$ (3) $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{e^x + 1} dx$ (4) $\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} dx$

はい、承知いたしました。広義積分の収束・発散を判定する問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた4つの広義積分について、それぞれの収束・発散を判定します。

(1) $\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin x} dx$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{\log x}{x^2 + 1} dx$

(3) $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{e^x + 1} dx$

(4) $\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$x \to 0$ で $\sin x \sim x$ より、$f(x) = \frac{1}{\sin x} \sim \frac{1}{x}$。

$\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{\pi/2} \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} [\log x]_{\epsilon}^{\pi/2} = \lim_{\epsilon \to 0} (\log(\pi/2) - \log \epsilon) = \infty$

したがって、発散する。

(2)

$x \to 0$ で $\log x \to -\infty$ だから、広義積分。

$x \to 0$ で $\frac{\log x}{x^2 + 1} \sim \log x$。

$\int_{0}^{1} \log x dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{1} \log x dx = \lim_{\epsilon \to 0} [x\log x - x]_{\epsilon}^{1} = \lim_{\epsilon \to 0} [(1\log 1 - 1) - (\epsilon \log \epsilon - \epsilon)] = -1 - \lim_{\epsilon \to 0} (\epsilon \log \epsilon - \epsilon) = -1$。

ここで、$\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon \log \epsilon = 0$ を用いた。

したがって、収束する。

(3)

$x \to \infty$ で $\frac{x}{e^x + 1} \sim \frac{x}{e^x}$。

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{e^x + 1} dx \le \int_{0}^{\infty} \frac{x}{e^x} dx = \int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx$

$\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx = \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} xe^{-x} dx = \lim_{R \to \infty} [-xe^{-x} - e^{-x}]_{0}^{R} = \lim_{R \to \infty} [(-Re^{-R} - e^{-R}) - (0 - 1)] = 1$。

したがって、収束する。

(4)

$x \to 0$ で $\frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} \sim \sqrt{x}$。$\int_{0}^{1} \sqrt{x} dx = [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$ なので、0近傍での積分は収束。

$x \to \infty$ で $\frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} \sim \frac{\sqrt{x}}{x^2} = \frac{1}{x^{3/2}}$。$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}} dx = \lim_{R \to \infty} \int_{1}^{R} x^{-3/2} dx = \lim_{R \to \infty} [-2x^{-1/2}]_{1}^{R} = \lim_{R \to \infty} [-2R^{-1/2} - (-2)] = 2$ なので、$\infty$ 近傍での積分も収束。

したがって、収束する。

3. 最終的な答え

(1) 発散

(2) 収束

(3) 収束

(4) 収束