関数 $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ の導関数を定義に従って求め、$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$ となることを証明する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ の導関数を定義に従って求め、$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$ となることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、導関数の定義式を書きます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

次に、$f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ を代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\cos(x+h)}{\sin(x+h)} - \frac{\cos x}{\sin x}}{h}$

分母を払うために、分子を通分します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h)\sin x - \cos x \sin(x+h)}{h\sin(x+h)\sin x}$

三角関数の加法定理 $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$ より、分子は $\sin(x - (x+h)) = \sin(-h) = -\sin h$ となります。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin h}{h\sin(x+h)\sin x}$

$\sin(x+h)\sin x$と$h$を分離します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin h}{h} \cdot \frac{1}{\sin(x+h)\sin x}$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ および $\lim_{h \to 0} \sin(x+h) \sin x = \sin x \sin x = \sin^2 x$ であることを利用します。

$f'(x) = -1 \cdot \frac{1}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$

ア: $\frac{\cos(x+h)}{\sin(x+h)} - \frac{\cos x}{\sin x}$

イ: $\sin(x+h) \sin x$

ウ: $-\sin h$

エ: $-1$