導関数の定義に従って、関数 $f(x) = \frac{1}{x+1}$ を微分する。

1. 問題の内容

導関数の定義に従って、関数 $f(x) = \frac{1}{x+1}$ を微分する。

2. 解き方の手順

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

である。

与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{x+1}$ をこれに代入する。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)+1} - \frac{1}{x+1}}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h+1} - \frac{1}{x+1}}{h}$

通分する。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x+1) - (x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x+1-x-h-1}{(x+h+1)(x+1)}}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{(x+h+1)(x+1)}}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h(x+h+1)(x+1)}$

$h$を約分する。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{(x+h+1)(x+1)}$

$h \to 0$ の極限を取る。

$f'(x) = \frac{-1}{(x+0+1)(x+1)}$

$f'(x) = \frac{-1}{(x+1)(x+1)}$

$f'(x) = \frac{-1}{(x+1)^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$