与えられた4つの対数関数に関する方程式または不等式を解きます。 (1) $\log_3(x+1)^2 = 2$ (2) $\log_2x + \log_2(x+7) = 3$ (3) $\log_{\frac{1}{2}}(x-1) > 2$ (4) $\log_2(x+1) + \log_2(x-2) < 2$

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた4つの対数関数に関する方程式または不等式を解きます。

(1) $\log_3(x+1)^2 = 2$

(2) $\log_2x + \log_2(x+7) = 3$

(3) $\log_{\frac{1}{2}}(x-1) > 2$

(4) $\log_2(x+1) + \log_2(x-2) < 2$

2. 解き方の手順

(1) $\log_3(x+1)^2 = 2$

まず、対数の性質を利用して式を整理します。

$2\log_3|x+1| = 2$

$\log_3|x+1| = 1$

$|x+1| = 3^1 = 3$

$x+1 = 3$ または $x+1 = -3$

$x = 2$ または $x = -4$

(2) $\log_2x + \log_2(x+7) = 3$

対数の和を積の対数に変換します。

$\log_2(x(x+7)) = 3$

$x(x+7) = 2^3 = 8$

$x^2 + 7x - 8 = 0$

$(x+8)(x-1) = 0$

$x = -8$ または $x = 1$

ただし、$\log_2x$が存在するためには、$x>0$でなければならない。したがって、$x=-8$は不適。

よって、$x = 1$

(3) $\log_{\frac{1}{2}}(x-1) > 2$

底が1より小さいので、不等号の向きが変わることに注意します。

$x-1 < (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$x < 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

また、対数関数が存在するためには、$x-1 > 0$である必要があります。

$x > 1$

したがって、$1 < x < \frac{5}{4}$

(4) $\log_2(x+1) + \log_2(x-2) < 2$

対数の和を積の対数に変換します。

$\log_2((x+1)(x-2)) < 2$

$(x+1)(x-2) < 2^2 = 4$

$x^2 - x - 2 < 4$

$x^2 - x - 6 < 0$

$(x-3)(x+2) < 0$

$-2 < x < 3$

対数関数が存在するためには、$x+1 > 0$かつ$x-2 > 0$である必要があります。

$x > -1$かつ$x > 2$

したがって、$x > 2$

よって、$2 < x < 3$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, -4$

(2) $x = 1$

(3) $1 < x < \frac{5}{4}$

(4) $2 < x < 3$