加法定理を用いて、以下の4つの式を証明する問題です。 (1) $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ (2) $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ (3) $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (4) $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

1. 問題の内容

加法定理を用いて、以下の4つの式を証明する問題です。

(1) $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

(2) $\sin 2x = 2\sin x \cos x$

(3) $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

(4) $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2x = \cos(x+x)$ を加法定理で展開します。

$\cos(x+x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^2 x - \sin^2 x$

(2) $\sin 2x = \sin(x+x)$ を加法定理で展開します。

$\sin(x+x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2\sin x \cos x$

(3) (1)で求めた式 $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ を利用します。

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を代入すると、$\cos 2x = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2\cos^2 x - 1$ となります。

この式を $\cos^2 x$ について解くと、 $2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$ より $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ となります。

(4) (1)で求めた式 $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ を利用します。

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を代入すると、$\cos 2x = (1 - \sin^2 x) - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x$ となります。

この式を $\sin^2 x$ について解くと、$2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$ より $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

(2) $\sin 2x = 2\sin x \cos x$

(3) $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

(4) $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$