2次方程式 $x^2 - 3x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。このとき、$\alpha^n + \beta^n - 3^n$ がすべての正の整数 $n$ について5の整数倍になることを数学的帰納法を用いて証明する。
2025/7/30
1. 問題の内容
2次方程式 の2つの解を , とする。このとき、 がすべての正の整数 について5の整数倍になることを数学的帰納法を用いて証明する。
2. 解き方の手順
(1) のとき:
(解と係数の関係より)
これは5の整数倍である。
(2) のとき:
(解と係数の関係より)
これは5の整数倍である。
(3) , のとき成り立つと仮定する:
すなわち、 および (は整数)と仮定する。
(4) のときを示す:
が5の整数倍であることを示す。
は の解なので、
より
より
ここで、
であるから、
これは5の整数倍である。
したがって、 のときも成り立つ。
(1), (2), (3), (4) より、数学的帰納法によって、すべての正の整数 について は5の整数倍である。
3. 最終的な答え
すべての正の整数 について、 は5の整数倍である。