2次方程式 $x^2 - 3x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。このとき、$\alpha^n + \beta^n - 3^n$ がすべての正の整数 $n$ について5の整数倍になることを数学的帰納法を用いて証明する。

代数学二次方程式解と係数の関係数学的帰納法複素数代数
2025/7/30

1. 問題の内容

2次方程式 x23x+5=0x^2 - 3x + 5 = 0 の2つの解を α\alpha, β\beta とする。このとき、αn+βn3n\alpha^n + \beta^n - 3^n がすべての正の整数 nn について5の整数倍になることを数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1) n=1n=1 のとき:
α+β=3\alpha + \beta = 3 (解と係数の関係より)
α1+β131=33=0\alpha^1 + \beta^1 - 3^1 = 3 - 3 = 0
これは5の整数倍である。
(2) n=2n=2 のとき:
αβ=5\alpha\beta = 5 (解と係数の関係より)
α2+β2=(α+β)22αβ=322(5)=910=1\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 3^2 - 2(5) = 9 - 10 = -1
α2+β232=19=10\alpha^2 + \beta^2 - 3^2 = -1 - 9 = -10
これは5の整数倍である。
(3) n=kn=k, n=k+1n=k+1 のとき成り立つと仮定する:
すなわち、αk+βk3k=5m\alpha^k + \beta^k - 3^k = 5m および αk+1+βk+13k+1=5l\alpha^{k+1} + \beta^{k+1} - 3^{k+1} = 5l (m,lm, lは整数)と仮定する。
(4) n=k+2n=k+2 のときを示す:
αk+2+βk+23k+2\alpha^{k+2} + \beta^{k+2} - 3^{k+2} が5の整数倍であることを示す。
α,β\alpha, \betax23x+5=0x^2 - 3x + 5 = 0 の解なので、
α23α+5=0\alpha^2 - 3\alpha + 5 = 0 より α2=3α5\alpha^2 = 3\alpha - 5
β23β+5=0\beta^2 - 3\beta + 5 = 0 より β2=3β5\beta^2 = 3\beta - 5
αk+2=αkα2=αk(3α5)=3αk+15αk\alpha^{k+2} = \alpha^k \alpha^2 = \alpha^k (3\alpha - 5) = 3\alpha^{k+1} - 5\alpha^k
βk+2=βkβ2=βk(3β5)=3βk+15βk\beta^{k+2} = \beta^k \beta^2 = \beta^k (3\beta - 5) = 3\beta^{k+1} - 5\beta^k
αk+2+βk+2=3(αk+1+βk+1)5(αk+βk)\alpha^{k+2} + \beta^{k+2} = 3(\alpha^{k+1} + \beta^{k+1}) - 5(\alpha^k + \beta^k)
ここで、
αk+1+βk+1=5l+3k+1\alpha^{k+1} + \beta^{k+1} = 5l + 3^{k+1}
αk+βk=5m+3k\alpha^k + \beta^k = 5m + 3^k
であるから、
αk+2+βk+2=3(5l+3k+1)5(5m+3k)=15l+3k+225m53k\alpha^{k+2} + \beta^{k+2} = 3(5l + 3^{k+1}) - 5(5m + 3^k) = 15l + 3^{k+2} - 25m - 5 \cdot 3^k
αk+2+βk+23k+2=15l25m53k=5(3l5m3k)\alpha^{k+2} + \beta^{k+2} - 3^{k+2} = 15l - 25m - 5 \cdot 3^k = 5(3l - 5m - 3^k)
これは5の整数倍である。
したがって、n=k+2n=k+2 のときも成り立つ。
(1), (2), (3), (4) より、数学的帰納法によって、すべての正の整数 nn について αn+βn3n\alpha^n + \beta^n - 3^n は5の整数倍である。

3. 最終的な答え

すべての正の整数 nn について、αn+βn3n\alpha^n + \beta^n - 3^n は5の整数倍である。

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