関数 $y = -x^2 + ax + b$ （$-2 \le x \le 2$）は、$x=-1$ のとき最大となり、最小値2をとる。このとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + ax + b$ （$-2 \le x \le 2$）は、$x=-1$ のとき最大となり、最小値2をとる。このとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + ax + b$

$y = -(x^2 - ax) + b$

$y = -(x^2 - ax + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4}) + b$

$y = -(x - \frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{4} + b$

この二次関数のグラフは上に凸の放物線であり、頂点の $x$ 座標は $\frac{a}{2}$ です。

問題文より、$x=-1$ で最大値をとるので、頂点の $x$ 座標は $-1$ に等しいはずです。

よって、$\frac{a}{2} = -1$ より $a = -2$ となります。

$a = -2$ を元の式に代入すると、

$y = -x^2 - 2x + b$

$y = -(x + 1)^2 + 1 + b$

$x = -1$ のとき最大値をとるので、$x=-1$を代入して、

$y = -(-1)^2 - 2(-1) + b = -1 + 2 + b = 1 + b$

$x=-1$のとき最大値をとると書いてありますが、最大値の値は不明なので、これは使いません。

次に、定義域 $-2 \le x \le 2$ における最小値を考えます。頂点の $x$ 座標は $-1$ なので、定義域の端点である $x = 2$ のとき最小値をとります。

$x=2$ のとき、最小値2をとるので、

$y = -2^2 - 2(2) + b = -4 - 4 + b = -8 + b = 2$

よって、$b = 10$ となります。

したがって、$a = -2, b = 10$ です。

$y = -x^2 - 2x + 10$

$y = -(x+1)^2 + 1 + 10 = -(x+1)^2 + 11$

$x=-1$で最大値11を取ります。

$x=2$で最小値2を取ります。

$x=-2$で$y = -(-2)^2 -2(-2) + 10 = -4+4+10 = 10$を取ります。

3. 最終的な答え

$a = -2, b = 10$