A, B, Cがそれぞれ赤玉、白玉、青玉を1つずつ持っている状態で、硬貨を投げて表が出ればAとBの玉を交換し、裏が出ればBとCの玉を交換する。この操作を$n$回繰り返した後にA, B, Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n$, $b_n$, $c_n$とする。 (1) $a_1$, $b_1$, $c_1$を求めよ。 (2) $a_{n+1}$, $b_{n+1}$, $c_{n+1}$を$a_n$, $b_n$, $c_n$を用いて表せ。 (3) $a_n$, $b_n$, $c_n$を求めよ。

1. 問題の内容

A, B, Cがそれぞれ赤玉、白玉、青玉を1つずつ持っている状態で、硬貨を投げて表が出ればAとBの玉を交換し、裏が出ればBとCの玉を交換する。この操作を$n$回繰り返した後にA, B, Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n$, $b_n$, $c_n$とする。

(1) $a_1$, $b_1$, $c_1$を求めよ。

(2) $a_{n+1}$, $b_{n+1}$, $c_{n+1}$を$a_n$, $b_n$, $c_n$を用いて表せ。

(3) $a_n$, $b_n$, $c_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

1回目の操作について考える。

Aが赤玉を持っている確率$a_1$：硬貨を投げて表が出ればAとBが交換するので、確率は$1/2$。

Bが赤玉を持っている確率$b_1$：硬貨を投げて表が出ればAとBが交換するので$1/2$の確率でBが赤玉を持つ。裏が出ればBとCが交換するので$0$の確率でBが赤玉を持つ。したがって、確率は$1/2$。

Cが赤玉を持っている確率$c_1$：硬貨を投げて裏が出ればBとCが交換するので$1/2$。

したがって、$a_1 = 1/2$, $b_1 = 1/2$, $c_1 = 0$となる。

(2)

$n+1$回目の操作について考える。

$a_{n+1}$は、$n$回目にAが赤玉を持っておらず、表が出てAが赤玉を持つ場合（確率$(1-a_n) \cdot (1/2)$）に起こる。

$b_{n+1}$は、$n$回目にAが赤玉を持っていて、表が出てBが赤玉を持つ場合（確率$a_n \cdot (1/2)$）、または$n$回目にCが赤玉を持っていて、裏が出てBが赤玉を持つ場合（確率$c_n \cdot (1/2)$）に起こる。

$c_{n+1}$は、$n$回目にBが赤玉を持っていて、裏が出てCが赤玉を持つ場合（確率$b_n \cdot (1/2)$）に起こる。

したがって、次の漸化式が得られる。

$a_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$

$b_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{2}c_n$

$c_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$

(3)

$a_{n+1} = c_{n+1}$なので、$a_n = c_n$が成り立つ。よって、$b_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{2}a_n = a_n$となる。また、$a_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$である。したがって、$b_{n+2} = a_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$が成り立つ。

$b_{n+2} = \frac{1}{2}b_n$より、$b_n = A(\frac{1}{\sqrt{2}})^n + B(-\frac{1}{\sqrt{2}})^n$。

$b_1 = \frac{1}{2}$, $b_2 = a_1 = \frac{1}{2}b_0$で、$b_0 = 0$。

したがって、$b_2 = 0$。

$b_1 = \frac{1}{2} = \frac{A}{\sqrt{2}} - \frac{B}{\sqrt{2}}$, $b_2 = 0 = \frac{A}{2} + \frac{B}{2}$なので、$A = -B$となり、$\frac{1}{2} = \frac{2A}{\sqrt{2}}$より、$A = \frac{\sqrt{2}}{4}$, $B = -\frac{\sqrt{2}}{4}$となる。

$b_n = \frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{\sqrt{2}})^n - \frac{\sqrt{2}}{4}(-\frac{1}{\sqrt{2}})^n = \frac{1}{2^{n/2+1}}(1 - (-1)^n)$

$a_n+b_n+c_n = 1$であり、$a_n = c_n$なので、$2a_n + b_n = 1$, よって$a_n = \frac{1-b_n}{2}$。

$a_n = c_n = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2^{n/2+1}}(1 - (-1)^n))$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = \frac{1}{2}$, $b_1 = \frac{1}{2}$, $c_1 = 0$

(2) $a_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$, $b_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{2}c_n$, $c_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$

(3) $a_n = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2^{n/2+1}}(1 - (-1)^n))$, $b_n = \frac{1}{2^{n/2+1}}(1 - (-1)^n)$, $c_n = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2^{n/2+1}}(1 - (-1)^n))$