三角形ABCにおいて、$\angle ABC = 30^\circ$, $\angle ACB = 135^\circ$, $AC = 2$, $AB = x$, $BC = y$であるとき、$x$と$y$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle ABC = 30^\circ$, $\angle ACB = 135^\circ$, $AC = 2$, $AB = x$, $BC = y$であるとき、$x$と$y$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle BAC$を求める。

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ$.

次に、正弦定理を用いる。

$\frac{AC}{\sin{\angle ABC}} = \frac{AB}{\sin{\angle ACB}} = \frac{BC}{\sin{\angle BAC}}$.

$\frac{2}{\sin{30^\circ}} = \frac{x}{\sin{135^\circ}} = \frac{y}{\sin{15^\circ}}$.

$\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}$.

$\sin{135^\circ} = \sin{(180^\circ - 45^\circ)} = \sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\sin{15^\circ} = \sin{(45^\circ - 30^\circ)} = \sin{45^\circ}\cos{30^\circ} - \cos{45^\circ}\sin{30^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

$\frac{2}{1/2} = \frac{x}{\sqrt{2}/2} = \frac{y}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4}$.

$4 = \frac{2x}{\sqrt{2}} = \frac{4y}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$.

$x = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

$y = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$.

3. 最終的な答え

$x = 2\sqrt{2}$

$y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$